在本节中，我们将讨论连续时间模型转换成离散时间模型(或差分方程)。我们也将介绍的z变换，并显示如何使用它的控制器，离散时间系统的分析和设计。

　　在本教程中所使用的主要MATLAB命令：C2D，pzmap，zgrid，步骤，rlocus

　　数字控制器*介绍

　　下图显示了典型的连续反馈系统，我们一直在考虑到目前为止在本教程中。几乎所有的连续控制器可以使用模拟电子技术。

　　连续控制器，在虚线正方形包围，可以替换为一个数字控制器，如下所示，作为连续控制器，执行相同的控制任务。这些控制器之间的基本差别是，离散信号(或感测到的信号的样本)，而不是连续信号的数字系统的运作。

　　在上述数字示意性的不同类型的信号可以表示为下面的地块。

　　这个数字控制教程的目的是向您展示如何使用MATLAB与离散的功能，无论是在设计的数字控制系统传递函数或状态空间形式。

　　数字控制器*零保持等值

　　在上面的示意图中的数字控制系统，我们看到的数字控制系统包含离散和连续的部分。当设计一个数字控制系统，我们需要寻找的离散等效的连续部分，因此，我们只需要处理与分散的功能。

　　对于这种技术，我们会考虑以下部分的数字控制系统，并重新排列如下。

　　时钟，连接到D / A和A / D转换器提供一个脉冲每隔T秒，每个D / A和A / D转换的发送信号，仅当脉冲到达。具有该脉冲的目的是要求Hzoh(z)的只具有样品的u(k)的工作，并产生只输出y(k)的样品，因此，Hzoh(z)可以被实现为一个离散函数。

　　的设计理念如下。我们希望找到一个的离散函数Hzoh(Z)，H(S)，连续系统的采样输出，连续系统的分段常数输入等于离散输出。假设的信号u(k)表示的输入信号的一个示例。有样品U(k)和，拿着它产生一个的连续信号uhat(T)的技术。下面的草图显示，uhat(t)是保持不变的u(k)的间隔kT(k +1)T控股uhat(T)不变的采样时间被称为零阶保持。

　　的零阶举行信号uhat(T)“，通过H2(S)和A / D产生的输出y(k)，将的分段相同的信号，如果离散信号U(k)经过Hzoh(Z)产生的离散输出y(k)。

　　现在，我们将重绘的示意性，放置Hzoh(z)在连续部分的地方。

　　通过将Hzoh(Z)，我们可以设计数字控制系统的处理只能是离散的功能。

　　注：有某些情况下，离散的响应不匹配的连续响应由于在数字控制系统中实施的保持电路。有关详细信息，请参阅与保持的滞后效应。

　　数字控制器*转换C2D

　　有一个MATLAB函数调用C2D一个给定的连续系统(无论是在传递函数或状态空间形式)转换到一个独立的系统使用零阶保持上述操作说明。在MATLAB的基本命令sys_d = C2D(系统，TS，ZOH)

　　的采样时间(Ts的秒/样品)应该是小于1 /(30 * BW)，其中BW是闭环带宽频率。

　　数字控制器*例如：质量 - 弹簧 - 阻尼器

　　传递函数

　　假设你有以下的连续传递函数

　　(1)

　　假设闭环带宽频率是大于1弧度/秒时，我们将选择等于1/100秒的采样时间(Ts)。现在，创建一个新的m文件，输入以下命令。

　　M = 1;

　　b = 10;

　　k = 20;

　　s = tf('s');

　　sys = 1/(M*s^2+b*s+k);

　　Ts = 1/100;

　　sys_d = c2d(sys,Ts,'zoh')

　　sys_d =

　　4.837e-05 z + 4.678e-05

　　-----------------------

　　z^2 - 1.903 z + 0.9048

　　采样时间：0.01秒

　　离散时间传递函数。

　　数据空间

　　连续时间状态空间模型如下：

　　(2)

　　(3)

　　所有常量都是一样的。接下来的M文件转换成上述的连续状态空间的离散状态空间。

　　A = [0 1;

　　-k/M -b/M];

　　B = [ 0;

　　1/M];

　　C = [1 0];

　　D = [0];

　　Ts = 1/100;

　　sys = ss(A,B,C,D);

　　sys_d = c2d(sys,Ts,'zoh')

　　sys_d =

　　a =

　　x1 x2

　　x1 0.999 0.009513

　　x2 -0.1903 0.9039

　　b =

　　u1

　　x1 4.837e-05

　　x2 0.009513

　　c =

　　x1 x2

　　y1 1 0

　　d =

　　u1

　　y1 0

　　采样时间：0.01秒

　　离散时间状态空间模型。

　　从这些矩阵中，离散的状态空间可以写为

　　(4)

　　(5)

　　现在你有离散时间状态空间模型。

　　数字控制器*稳定性和瞬态响应

　　对于连续系统，我们知道某些行为在s平面的极点位置不同的结果。例如，一个系统是不稳定的，当任何极点位于虚轴的右侧的。对于离散系统，我们可以从不同的极点位置在z平面分析系统的行为。在z平面内的特性，可以与那些在s平面中，由表达式

　　(6)

　　T = Sampling time (sec/sample)

　　s = Location in the s-plane

　　z = Location in the z-plane

　　下图显示了线的恒定的阻尼比(ζ电)和固有频率为(Wn)使用上面所示的表达式，从s平面的z平面的映射。

　　如果你注意到在z平面内的稳定边界不再是虚轴，但是在单位圆z = 1的。时，所有的极点位于单位圆内，位于外的任何一极不稳定时，系统是稳定的。

　　为了分析在z平面内的瞬态响应的极点位置，在连续的系统设计中使用的以下三个方程仍然适用。

　　(7)

　　(8)

　　(9)

　　在那里，

　　泽塔阻尼比

　　Wn的固有频率(弧度/秒)

　　TS =建立时间

　　TR =上升时间

　　MP =*大过冲

　　重要提示：在z平面的固有频率(WN)的单位为弧度/样品，但是当你使用上面所示的公式，必须在单位弧度/秒的Wn。

　　假设我们有如下的离散传递函数

　　(10)

　　创建一个新的m文件，并输入以下命令。在命令窗口中运行的m文件，为您提供了以下情节的恒定阻尼比和自然频率的线条。

　　numDz = 1;

　　denDz = [1 -0.3 0.5];

　　sys = tf(numDz,denDz,-1); % the -1 indicates that the sample time is undetermined

　　pzmap(sys)

　　axis([-1 1 -1 1])

　　zgrid

　　从这个图中，我们看到极点位于大约在9pi/20T(弧度/样品)和阻尼比为0.25的固有振动频率。假设我们有一个采样时间为1/20秒(这会导致传送给Wn = 28.2弧度/秒)，并使用上面显示的三个方程，我们可以判断，这个系统应该有0.06秒的上升时间，建立时间为0.65秒，*大为45%的过冲(0.45以上的稳定状态值)。让我们得到的阶跃响应，如果这是正确的。上述的m文件中添加以下命令，然后重新运行在命令窗口中。你应该得到以下步骤响应。

　　sys = tf(numDz,denDz,1/20);

　　step(sys,2.5);

　　正如你可以看到的情节，上升时间，稳定时间和过冲出来是我们所期望的。这表明了如何可以使用的磁极的位置和以上三个方程分析系统的瞬态响应。

　　数字控制器*离散根轨迹

　　的根轨迹是特征方程的根可以发现，作为一个单一的增益变化从零到无穷大的点的轨迹。一个单位反馈系统的特征方程的是

　　(11)

　　其中G(z)是在数字控制器和Hzoh实施补偿器(z)是在z植物的传递函数。

　　的力学绘制根位点是完全一样的，在z平面的s平面中。连续根轨迹教程回想一下，我们使用MATLAB函数调用sgrid找到根轨迹，给出了一个可接受的增益(K)的区域。对于离散的根轨迹分析，我们将使用具有相同特性的sgrid功能zgrid。的：命令zgrid(泽塔，WN)画线(zeta)中的恒定阻尼比和固有频率(WN)。

　　假设我们有如下的离散传递函数

　　(12)

　　并且这个要**弧度/样本(这些可以从设计要求中找到，采样时间(秒/样品)，和上一节中所示的三个方程)的阻尼比大于0.6，大于0.4的固有振动频率。下面的命令绘制根轨迹的恒定阻尼比和自然频率的线条。创建一个新的m文件，并输入以下命令。运行此m-文件应该给你的根轨迹图。

　　numDz = [1 -0.3];

　　denDz = [1 -1.6 0.7];

　　sys = tf(numDz,denDz,-1);

　　rlocus(sys)

　　axis([-1 1 -1 1])

　　zeta = 0.4;

　　Wn = 0.3;

　　zgrid(zeta,Wn)

　　从这个情节，你应该认识到，该系统是稳定的，因为所有的极点位于单位圆内。此外，您看到的恒定阻尼比和自然频率的两条虚线。的固有振动频率大于0.3以外的恒定Wn的线，和阻尼比是大于0.4内的常数-ζ线。在这个例子中，我们是有在所需的区域中绘制的轨迹的根。因此，增益(K)，选择从一个在所希望的区域的轨迹应该给你的响应满足设计要求。